Δ' ΔΕΣΜΗ  -   23/5/2001
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΖΗΤΗΜΑ 1ο

A. Να αποδείξετε ότι, αν μία συνάρτηση f είναι συνεχής στο κλειστό διάστημα [α,β] και , τότε για κάθε αριθμό ξ μεταξύ των f(α) και f(β) υπάρχει τουλάχιστον ένας x_oΕ(α,β) τέτοιος ώστε να ισχύει f(x_o)=ξ.

B. Να αποδείξετε ότι:
α) Η συνάρτηση f(x)=x³+2x-1-ημ2x, xεR, είναι γνησίως αύξουσα.
β) Η εξίσωση x³+2x-1=ημ2x έχει μία μόνο ρίζα στο διάστημα (0,1).

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Α. Θεωρία (Θεώρημα ενδιαμέσων τιμών) σχολικό βιβλίο.

Β. α) f/R παραγωγίσιμη

Aρα η συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα στο R.

β) Θεωρούμε την συνάρτηση f(x) = x3+ 2x-1- ημ2x/[0,1]
Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο R άρα θα είναι γνησίως αύξουσα και στο [0,1].

Aρα σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano υπάρχει τουλάχιστον μία ρίζα της εξίσωσης στο (0,1) και επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα άρα και 1-1 σ' αυτό η ρίζα είναι μοναδική.

ΖΗΤΗΜΑ 2ο

A. Δίνεται το σύστημα

α) Να βρείτε την τιμή του λ για την οποία το σύστημα έχει δύο τουλάχιστον διαφορετικές λύσεις.
β) Αν (x₁, y₁, ω₁) και (x₂, y₂, ω₂) είναι δύο διαφορετικές λύσεις του συστήματος, να αποδείξετε ότι
x₁x₂+y₁y₂=ω₁ω₂

B. Θεωρούμε στο καρτεσιανό επίπεδο Oxy τη γραμμή με εξίσωση
x²+y²+6x-8y=0
α) Να αποδεόξετε ότι η προηγούμενη εξίσωση παριστάνει κύκλο και να προσδιορίσετε το κέντρο και την ακτίνα του.
β) Να αποδείξετε ότι τα σημεία Ο (0,0) και Α(-6,8) είναι τα άκρα μιας διαμέτρου του κύκλου.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

Α. α) Για να έχει το ομογενές σύστημα δύο τουλάχιστον ρίζες πρέπει η ορίζουσα του συστήματος D=0 και μία υποορίζουσα να είναι διάφορη του μηδενός.

β) Θεωρώ την 2η και 3η εξίσωση του συστήματος και ωεR χωρίς βλάβη της γενικότητας.

Δηλαδή η γενική λύση του συστήματος είναι

Δύο διαφορετικές λύσεις του συστήματος είναι:

Τότε

Β) α) Η εξίσωση x² + y² + 6x - 8y = 0 με συμπλήρωση τετραγώνου γίνεται:
x²+2*3x+3²-3²+y²-2*4y+4²-4²=0 δηλ. (x+3)² + (y-4)² = 5²
Aρα είναι κύκλος με κέντρο Κ(-3,4) και ακτίνα R=5

β) Τα σημεία Ο(0,0) και Α(-6,8) είναι σημεία του παραπάνω κύκλου διότι επαληθεύουν την εξίσωσή του.
Για να είναι αντιδιαμετρικά αρκεί το μέσο της απόστασής τους να είναι το κέντρο του κύκλου.
Πράγματι:

Δηλαδή το κέντρο του παραπάνω κύκλου.
Aρα είναι αντιδιαμετρικά.

ΖΗΤΗΜΑ 3ο

A. Η συνάρτηση f:R->R έχει συνεχή παράγωγο και ικανοποιεί την ισότητα

όπου α,βεR με α<β.
Να αποδείξετε ότι:
α) f(α) = f(β)
β) Η εξίσωση f'(x)=0 έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (α,β).

B. Έστω η συνάρτηση

α) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f, τον άξονα x'x και τις ευθείες x=λ, x=λ+1, όπου λ>0, είναι

β) Να προσδιορίσετε την τιμή του λ για την οποία το εμβαδόν Ε(λ) γίνεται ελάχιστο.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

A. α)

β) f συνεχής στο [α,β] και παραγωγίσιμη στο (α,β) με f(α)=f(β) από προηγούμενο ερώτημα.
Σύμφωνα με το θεώρημα του Rolle υπάρχει τουλάχιστον ένα ξε(α,β):

B. α)

β)

Οπότε

Αρα για λ=1 το Ε(λ) γίνεται ελάχιστο.

ΖΗΤΗΜΑ 4ο

Α. Δίνεται η συνάρτηση

α) Να αποδείξετε ότι
g''(x) = 2συνx - xημx, xεR.

β) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g στο σημείο

B. Έστω η συνάρτηση

όπου α, β εR.

α) Αν η ευθεία ε: y = 2x - 1 είναι ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο , ποιες είναι οι τιμές των α,β;
β) Έστω

είναι ένας δειγματικός χώρος με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα, όπου οι α, β έχουν τις τιμές που προκύπτουν στο προηγούμενο ερώτημα.

Θεωρούμε τη συνάρτηση

και το ενδεχόμενο

Να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου Ε.

ΑΠΑΝΤΗΣΗ

A.

α) g'(χ) = (χημχ)'= ημχ + χσυνχ
g''(χ) = (ημχ + χσυνχ)' = συνχ + συνχ - χημχ = 2συνχ - χημχ

β) Η εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της g στο

B. α)

β) Ο δειγματικός χώρος

g'(χ) = 1/3χ³ - (λ - 1)χ² + 4χ και
g''(χ) = χ² - 2(λ - 1)χ + 4

Για να είναι κυρτή πρέπει
Αρκεί
E = {1,2}άρα P(E) = 1/2