Α' ΔΕΣΜΗ  -   21/5/2001
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ZHTHMA 1o

Α. Έστω δειγματικός χώρος Ω και Α ένα ενδεχόμενό του. Αν Α΄ είναι το αντίθετο ενδεχόμενο του Α, να αποδείξετε ότι:
Ρ(Α΄) = 1 - Ρ(Α)

Β. Δίνεται το γραμμικό σύστημα:

x - 2y + 3ω - φ = κ
3x + y + 2ω + 4φ = λ
5x + 4y + ω + 9φ = μ

όπου κ, λ, με R.

α. Αν το σύστημα είναι συμβιβαστό, να αποδείξετε ότι:
μ+κ-2λ=0
β. Αν (x, y, ω, φ) = (1, 2, 1, 1) είναι μία λύση του συστήματος, να βρείτε όλες τις λύσεις του.

AΠΑΝΤΗΣΗ

A.

B.
α) Μέσω του επαυξημένου πίνακα του συστήματος προκύπτει:

Επειδή το (Σ) είναι συμβιβαστό, είναι μ+κ-2λ=0

β) Αφού (x,y,ω,φ) = (1,2,1,1) λύση του συστήματος, το (Σ) γίνεται:

Οι λύσεις είναι (x,y,ω,φ) = (3-ω-φ, 2+ω-φ, ω, φ) με ω,φ ε R

ZHTHMA 2o

Α. Δίνονται οι ευθείες
ε_α: αx-y = 0 και ζ_α: x+αy=2, αεR.
α. Να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του αεR, οι ευθείες ε_α διέρχονται από σταθερό σημείο Α και οι ευθείες ζ_α διέρχονται από σταθερό σημείο Β, τα οποία και να προσδιορίσετε.
β. Αν Μ(x, y) είναι το σημείο τομής των ε_α και ζ_α, να αποδείξετε ότι για τις διάφορες τιμές του αεR το Μ κινείται σε κύκλο, του οποίου να βρείτε την εξίσωση.

Β. Δίνονται τα πολυώνυμα
Ρ(z) = z² - 2z + 2 και Q(z) = z³ + αz² + βz-2, όπου α, βε R.
α. Να βρείτε τις ρίζες z1, z2 του Ρ(z) και να αποδείξετε ότι
β. Αν μια ρίζα του πολυωνύμου Ρ(z) είναι και ρίζα του πολυωνύμου Q (z), να προσδιορίσετε τις τιμές των α και β.

AΠΑΝΤΗΣΗ

A.
α)

β)

B.
α)

β)

ΖΗΤΗΜΑ 3ο

A. Έστω η συνάρτηση f(x) = x²lnx, x>0.
α. Να αποδείξετε ότι υπάρχει ένα μόνο σημείο της γραφικής παράστασης της f, στο οποίο η εφαπτομένη είναι παράλληλη στον άξονα x´x.
β. Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f, τον άξονα x´x και την ευθεία x=x₀, όπου x₀ είναι η θέση του τοπικού ακροτάτου της f.

Β. Έστω η συνάρτηση f: [α, β]->R, η οποία είναι συνεχής στο [α, β], παραγωγίσιμη στο (α, β) και f(α)=2β, f(β)=2α.
α. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση f(x)=2x έχει μία τουλάχιστον ρίζα στο (α, β).
β. Να αποδείξετε ότι υπάρχουν ξ₁, ξ₂ ε(α, β) τέτοια ώστε
f΄(ξ₁) f΄(ξ₂) = 4.

AΠΑΝΤΗΣΗ

A.
α)

β)

B.
α)

β)

ZHTHMA 4o

Α. Έστω η συνάρτηση
f(x) = x³ - 3x²συν2α +2xσυν²2α+ημ²2α, xεR και αεR.
Να αποδείξετε ότι για οποιαδήποτε τιμή του α η γραφική παράσταση της f έχει μόνο ένα σημείο καμπής, το οποίο για τις διάφορες τιμές του α ανήκει σε παραβολή.

B. ΄Εστω συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο R με f΄(0) = 1 και τέτοια ώστε να ισχύει:
, για κάθε xεR.
Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(0,f(0)).

AΠΑΝΤΗΣΗ

A.

B.